Propagation acoustique en milieux complexes : études numérique et analytique

avril 2014
Publication type:
Habilitation these
Abstract:

Depuis mon recrutement au CNRS en 1999, mes travaux de recherche se sont articulés autour de deux principaux thèmes :

  • Aéroacoustique en régime harmonique
  • Multi-diffusion dans un guide

Mon activité en aéroacoustique consiste à étudier théoriquement le rayonnement d'une source sonore dans un écoulement subsonique complexe et à développer des méthodes Elements Finis pour le déterminer. Ce travail prend deux formes suivant que l'écoulement est uniforme ou non.

Le cas d'un écoulement uniforme est plus simple car l'acoustique n'est pas couplée aux phénomènes hydrodynamiques. Les équations d'Euler compressibles linéarisées se réduisent alors à une simple équation d'onde convectée à inconnue scalaire, le potentiel des vitesses. Dans ce cas je me suis intéressé à divers problèmes : tout d'abord à la diffraction acoustique par une plaque rigide et au comportement à faible Mach de l'amplitude du sillage généré derrière la plaque, fixée par la condition de Kutta. De plus dans le cas de deux plaques rigides minces alignées je me suis intéressé à l'interaction entre les sillages et les plaques. J'ai aussi étudié théoriquement et déterminé numériquement les fréquences de résonance d'une plaque élastique dans un conduit en présence d'un écoulement. Enfin j'ai étudié la propagation acoustique dans un guide à parois acoustiquement traitées, caractérisées par une impédance. Lorsque le traitement est de longueur infinie, j'ai développé une méthode pour construire des conditions transparentes analytiques pour borner le domaine de calcul. Lorsque le traitement est localisé, j'ai déterminé théoriquement quelle inconnue était la mieux adaptée, pression, potentiel des vitesses ou potentiel de déplacement, pour formuler le problème de diffraction.

Dans le cas d'un écoulement quelconque, la difficulté supplémentaire est le couplage entre l'acoustique et les tourbillons convectés par le fluide. L'approche choisie est de décrire la propagation acoustique à l'aide des équations de Galbrun, qui présentent beaucoup d'avantages par rapport aux équations d'Euler: la structure est proche d'une équation d'onde, l'inconnue est le déplacement, bien adapté pour écrire les conditions aux limites. La difficulté principale est le traitement des tourbillons: la vorticité notée psi satisfait une équation de transport harmonique, mal adaptée à une résolution par éléments finis classiques et associée à des conditions de rayonnement non-usuelles. J'ai tout d'abord abordé le cas d'un écoulement cisaillé dans un conduit, pour lequel les tourbillons s'expriment explicitement en fonction du déplacement et peuvent être éliminés du problème. Puis j'ai étudié le cas d'un écoulement général. Les tourbillons sont alors déterminés grâce à une méthode de Galerkin discontinu adaptée aux équations de transport tandis que des éléments continus classiques suffisent pour l'acoustique.

Mon activité en multi-diffusion prend elle aussi deux formes selon la nature de la structure diffractante: elle consiste à étudier la propagation acoustique dans un guide 2D en régime harmonique et en présence soit de diffuseurs, soit de parois du guide déformées. Dans le premier cas je me suis intéressé soit au cas de diffuseurs impénétrables (rigides), qui nécessitent une approche numérique, soit au cas de diffuseurs pénétrables qui se prêtent à un traitement analytique. Dans le cas impénétrable, j'ai étudié les domaines de validité de modèles de milieux effectifs (type Foldy) en déterminant le champ acoustique moyen se propageant à travers de nombreux diffuseurs. Il est nécessaire d'effectuer une moyenne sur de nombreuses configurations aléatoires de diffuseurs. La stratégie pour développer une méthode éléments finis rapide consiste à réduire au maximum le domaine de calcul en introduisant une condition transparente très proche des diffuseurs, basée sur la représentation intégrale de la pression diffractée.

Dans le cas pénétrable, une projection modale sur les modes du guide homogène permet de se ramener à une famille d'équations d'ondes 1D portant sur les composantes modales de la pression, couplées entre elles. L'approximation de Born, dont j'ai déterminé les domaines de validité, permet de déterminer analytiquement les coefficients de réflexion et de transmission d'une onde incidente.

J'ai aussi étudié la diffraction acoustique par un guide à section variable. Dans chaque section un changement de variable verticale permet de se ramener à la résolution d'une équation de Helmholtz à coefficients variables dans un guide droit. La difficulté principale est alors la très lente convergence de la décomposition modale due à la condition aux limites non homogène sur les parois. Un remède consiste à ajouter aux modes usuels un mode dit de surface qui prend en charge la condition aux limites. Cependant ce mode artificiel ne satisfait pas les conditions de radiation usuelles. Un changement d'inconnues permet de remédier au problème ce qui permet d'obtenir des résultats analytiques dans l'approximation de Born. A basse fréquence, ce mode de surface permet d'obtenir une équation de Webster (des pavillons) enrichie plus précise que l'équation usuelle, notamment capable de décrire convenablement des changements de section discontinus.

title (translation) :
Acoustic propagation in complex environments: numerical and analytical studies
Abstract (translation) :

Since my hiring in CNRS in 1999, my research have mainly concerned two themes :

  • Time harmonic aeroacoustics,
  • Multiple scattering in a waveguide

In aeroacoustics I study theoretically the radiation of a sound source in a complex subsonic flow and I develop Finite Element methods to determine it. This work takes two forms depending on the following the flow is uniform or not.

The case of a uniform flow is simpler because the sound is not coupled to hydrodynamic phenomena. Then the compressible linearized Euler equations reduce to a simple convected waves equation with a scalar unknown, the velocity potential. In this case I have been interested in various problems: firstly the acoustic diffraction by a rigid plate and the behavior at low Mach numbers of the amplitude of the wake generated behind the plate, determined by the Kutta condition.

Moreover in the case of two thin aligned rigid plates, I have been interested in the interaction between the wakes and the plates. I have also studied theoretically and I have determined numerically the resonance frequencies of an elastic plate in a waveguide in the presence of a flow. Finally I have studied the acoustic propagation in a guide with acoustically treated walls, characterized by an impedance. When treatment is of infinite length, I have developed a method to build analytical transparent conditions to bound the computational domain. When the treatment is localized, I have determined theoretically which unknown was the most suitable, pressure, velocity potential or displacement potential to formulate the diffraction problem.

For a general flow, the additional difficulty is the coupling between acoustic waves and vortices convected by the flow. The chosen approach is to describe the acoustic propagation using Galbrun's equation, which have many advantages compared to Euler's equations: the structure is close to a wave equation, the unknown is the displacement, well suited to write boundary conditions. The main difficulty is the treatment of the vortices : the vorticity denoted psi satisfies an harmonic transport equation, ill suited to resolution by conventional finite element and associated to non- onventional radiation conditions. First I considered the case of a shear flow in a waveguide, for which the vorticity can be explicitly expressed in terms of the displacement and may be removed from the problem . Then I studied the case of a general flow . The vortices are then determined using a discontinuous Galerkin method adapted to transport equations while conventional continuous elements are sufficient for the acoustic part.

My studies in multiple scattering also takes two forms depending on the nature of the diffracting structure: it consists in studying the harmonic acoustic propagation in a 2D guide, in the presence either of scatterers or non uniform guides. In the first case I studied either the case of impenetrable scatterers (rigid), which requires a numerical approach , or the case of penetrable scatterers that are more adapted to an analytical treatment. In the impenetrable case, I studied the validity domains of effective medium models (of Foldy type) by determining the average sound field propagating through many scatterers . It is necessary to perform averaging over many random configurations of scatterers . The strategy to develop a fast finite element method is to minimize the computational domain by introducing a transparent condition very close to the scatterers, based on the integral representation of the diffracted pressure.

In the penetrable case, a modal projection on the guided modes of the homogeneous guide leads to a family of 1D wave equations on the modal components of the pressure, coupled together. The Born approximation allows to determine analytically the reflection and transmission coefficients of an incident wave.

I have also studied the acoustic scattering by a non uniform waveguide. In each section a vertical change of variable allows leads to solve a Helmholtz equation with variable coefficients in a straight guide. Then the main difficulty is the slow convergence of the modal decomposition due to the inhomogeneous boundary condition on the walls. A remedy is to add to the usual modes a so-called surface mode that helps to satisfy the boundary condition. However, this artificial mode does not satisfy the usual radiation conditions. A change of unknowns can solve this problem which leads to analytical results in the Born approximation. At low frequency, this surface mode provides an enriched Webster equation more accurate than the usual equation, especially able to adequately describe discontinuous section changes.

BibTeX:
@phdthesis{Mer-2014,
    author={Jean-François Mercier },
    title={Propagation acoustique en milieux complexes : études 
           numérique et analytique },
    year={2014 },
    month={4},
    comment={Thèse d'Habilitation \`a Diriger les Recherches },
}